Mathématiques Générales pour premiers cycles et formation continue

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Table des matières

  1. Introduction - Généralités (11)
    1. Introduction (13)
    2. Ensembles - Relations (13)
    3. Relation binaire sur un ensemble E (16)
    4. Lois de composition - Structures d'ensembles (21)
    5. Applications et fonctions (26)
    6. Exercices (33)
  2. Analyse combinatoire (37)
    1. Introduction (39)
    2. Raisonnement par récurrence (39)
    3. Définition de la factorielle (39)
    4. Arrangements ou permutations (40)
    5. Combinaisons (42)
    6. Formule du binôme de Newton (43)
    7. Applications du binôme de Newton (43)
    8. Exercices (46)
  3. Les nombres complexes (51)
    1. Introduction (53)
    2. Ensemble des entiers naturels positifs N (53)
    3. Anneau des entiers relatifs Z (53)
    4. Corps des nombres rationnels Q (53)
    5. Corps des nombres réels R (54)
    6. Corps des nombres complexes C (54)
    7. Représentation géométrique (56)
    8. Nombre complexe conjugué (57)
    9. Représentation trigonométrique (58)
    10. Forme algébrique et forme trigonométrique (62)
    11. Formule de De Moivre (63)
    12. Notation exponentielle d'un nombre complexe (65)
    13. Racines n ièmes d'un nombre complexe (66)
    14. Corps algébriquement clos (67)
    15. Raines carrées d'un nombre complexe (67)
    16. Équations du second degré dans C (69)
    17. Formules d'Euler (70)
    18. Linéarisation des polynômes (70)
    19. Exercices (71)
  4. Fonctions numériques (81)
    1. Généralités (84)
    2. Fonctions d'une variable réelle (84)
    3. Algèbre des fonctions continues (93)
    4. Continuité uniforme d'une fonction (97)
    5. Fonctions réciproques (98)
    6. Algèbre des fonctions dérivables (99)
    7. Dérivée sur un intervalle fermé (102)
    8. Dérivée et sens de variation d'une fonction (103)
    9. Dérivée d'ordre supérieur ~ Formule de Leibniz (104)
    10. Fonctions indéfiniment continûment dérivables (105)
    11. Dérivée d'une composée de fonctions (105)
    12. Dérivée d'une fonction réciproque (106)
    13. Dérivée d'une fonction homographique (107)
    14. Plan d'étude d'une fonction (108)
    15. Fonctions convexes (110)
    16. Exercices (113)
  5. Fonctions circulaires réciproques (121)
    1. Introduction (123)
    2. Étude de la fonction arcsin (123)
    3. Étude de la fonction arccos (124)
    4. Étude de la fonction arctg (124)
    5. Étude de la fonction arcotg (125)
    6. Remarques sur les dérivées (125)
    7. Formules importantes (126)
    8. Exercices (127)
    9. Graphes des fonctions circulaires - Graphes des fonctions réciproques (132)
  6. Théorème de Rolle - Accroissements finis (134)
    1. Théorème de Rolle (136)
    2. Théorème des accroissements finis (138)
    3. Généralisation de la formule des accroissements finis (139)
    4. Théorème de Guillaume de L'Hôpital (140)
    5. Applications du théorème de Lagrange (142)
    6. Développements - asymptotiques (144)
    7. Exercices (145)
  7. Primitives - Intégrales (149)
    1. Introduction (151)
    2. Définition de la primitive d'une fonction (151)
    3. Définition de l'intégrale d'une fonction (152)
    4. Propriétés fondamentales (154)
    5. Espace vectoriel des fonctions intégrables (154)
    6. Théorèmes de la moyenne (155)
    7. Intégrale d'une fonction bornée (159)
    8. Intégrale de Riemann (159)
    9. Théorème de Schwarz (161)
    10. Intégrale d'une fonction réelle à valeurs complexes (161)
    11. Exercices (163)
  8. Logarithmes et exponentielles (174)
    1. Logarithme népérien (176)
    2. Étude de la fonction f(x) = ln x (180)
    3. Fonction logarithme de base a (180)
    4. Fonction exponentielle de base quelconque (182)
    5. Étude de la fonction exponentielle népérienne (183)
    6. Importance de la fonction exponentielle (187)
    7. Fonction exponentielle généralisée (187)
    8. Comparaison des fonctions puissance et exponentielle (187)
    9. Exercices (188)
  9. Fonctions hyperboliques
    1. Définition des fonctions hyperboliques ()
    2. Étude de la fonction cosinus hyperbolique ()
    3. Étude de la fonction sinus hyperbolique ()
    4. Étude de la fonction tangente hyperbolique ()
    5. Étude de la fonction cotangente hyperbolique ()
    6. Analogie entre fonctions circulaires et hyperboliques ()
    7. Trigonométrie hyperbolique ()
    8. Linéarisation des polynômes en ch x et sh x ()
    9. Existence des fonctions réciproques ()
    10. Fonction argument cosinus hyperbolique ()
    11. Fonction argument sinus hyperbolique ()
    12. Fonction argument tangente hyperbolique ()
    13. Fonction argument cotangente hyperbolique (212)
    14. Recherche de primitives (213)
    15. Dérivées et différentielles usuelles (214)
    16. Exercices (215)
  10. Développements limités (221)
    1. Utilité des développements limités (223)
    2. Définitions (223)
    3. Unicité d'un développement limité (224)
    4. Existence d'un développement limité (224)
    5. Développements limités des fonctions usuelles (225)
    6. Théorèmes fondamentaux (226)
    7. Fonctions équivalentes (233)
    8. Recherche de partie principale (233)
    9. Recherche de limites (234)
    10. Exercices (235)
  11. Techniques de recherche de primitives (237)
    1. Introduction (239)
    2. Définition de la primitive d'une fonction (239)
    3. Primitives des fonctions usuelles (239)
    4. Primitives des fonctions trigonométriques (239)
    5. Primitives des fonctions hyperboliques (240)
    6. Technique de l'intégration par parties (241)
    7. Technique du changement de variables (242)
    8. Primitives de fonctions composées (243)
    9. Primitives de polynômes particuliers (244)
    10. Primitives des fractions rationnelles (245)
    11. Intégrales abéliennes (254)
    12. Méthodes particulières d'intégration (257)
    13. Intégration par récurrence : formule de Wallis (263)
    14. Exercices (265)
  12. Intégrales généralisées (267)
    1. Introduction (269)
    2. Intégrale d'une fonction non bornée (269)
    3. Critères de convergence (270)
    4. Convergence absolue (270)
    5. Fonction intégrable sur un intervalle non borné (272)
    6. Critère de convergence - Critère de Cauchy (273)
    7. Théorèmes fondamentaux de convergence (274)
    8. Formule de la moyenne (276)
    9. Critère d'Abel pour les intégrales généralisées (276)
  13. Suites numériques réelles (279)
    1. Suite numérique quelconque (281)
    2. Suite numérique de nombres réels (281)
    3. Espace vectoriel des suites numériques (282)
    4. Algèbre des suites numériques convergentes (282)
    5. Opérations sur les suites numériques divergentes (285)
    6. Théorèmes fondamentaux (285)
    7. Suites réelles monotones (287)
    8. Suite arithmétique (291)
    9. Suite géométrique (292)
    10. Applications des suites numériques (294)
    11. Suites récurrentes ~ Théorème du point fixe (295)
    12. Exercices (298)
  14. Équations différentielles (307)
    1. Introduction (309)
    2. Équation différentielle ~ Courbe intégrale (309)
    3. Équations différentielles du premier ordre (309)
    4. Équations différentielles homogènes (311)
    5. Équations différentielles linéaires du 1° ordre (312)
    6. Équations différentielles du deuxième ordre (317)
    7. Exercices (327)
  15. Fonctions de plusieurs variables (337)
    1. Rappel - Espace vectoriel (339)
    2. Espace vectoriel normé (339)
    3. Espace vectoriel normé complet (342)
    4. Fonctions vectorielles d'une variable réelle (342)
    5. Fonctions complexes d'une variable réelle (344)
    6. Fonctions de plusieurs variables réelles (344)
    7. Fonctions de deux variables réelles (345)
    8. Théorème des accroissements finis (352)
    9. Formule de Taylor-Lagrange (353)
    10. Extremum d'une fonction de deux variables (354)
    11. Applications aux fonctions homogènes (355)
    12. Fonction implicite (356)
    13. Exercices (357)
  16. Fonctions différentiables (363)
    1. Fonctions d'une variable réelle (365)
    2. Fonctions de plusieurs variables (367)
    3. Forme différentielle exacte (369)
    4. Application au calcul d'erreur (372)
    5. Exercices (372)
  17. Compléments sur les ensembles (377)
    1. Notions sur la puissance des ensembles (379)
    2. Cardinal ou puissance d'un ensemble (379)
    3. Nombres algébriques et nombres transcendants (383)
  18. Formulaire mathématique (385)
    1. Rappels de trigonométrie (387)
    2. Identités remarquables (392)
    3. Résolution d'un système linéaire (392)
  19. Réflexions sur les mathématiques (393)
    1. L'idée de perfection logique (395)
    2. Les langages formalisés (395)
    3. Axiomes - Schémas - Théorèmes (395)
    4. Théorie de la démonstration (396)
    5. Prédicats (398)
    6. Interprétation des formules (399)
  20. Introduction à la logique (403)
    1. Avant-propos (405)
    2. Formalisation de la logique - Vocabulaire (405)
    3. Méthodes de déduction (410)
  21. Notions de probabilités (415)
    1. Introduction (417)
    2. Probabilités (417)
    3. Espace probabilisable (418)
    4. Espaces probabilisés discrets (421)
  22. Algèbre de Boole (427)
    1. Introduction (429)
    2. Définition (429)
    3. Propriétés fondamentales (429)
    4. Exemples d'algèbres de Boole (431)
    5. Relation binaire dans une algèbre de Boole (431)
    6. Fonctions booléennes (434)
    7. Simplification des expressions booléennes (435)
    8. Exercices (438)
  23. Polynômes et fractions rationnelles (441)
    1. Polynômes de degré n (443)
    2. Algèbre des polynômes de degré n (443)
    3. Division des polynômes (443)
    4. Fraction rationnelle dans R (444)
  24. Lexique (445)
    1. Lettres de l'alphabet grec utilisées dans cet ouvrage (447)
    2. Table des fonctions (447)
    3. Table des symboles mathématiques utilisés (448)
  25. Biographies (449)